O jogo consiste no seguinte: Monty Hall (o apresentador) apresentava 3 portas aos concorrentes, sabendo que atrás de uma delas está um carro (prêmio bom) e que as outras têm prêmios de pouco valor.
1.Na 1ª etapa o concorrente escolhe uma porta (que ainda não é aberta);
2.De seguida Monty abre uma das outras duas portas que o concorrente não escolheu, sabendo à partida que o carro não se encontra aí;
3.Agora com duas portas apenas para escolher -- pois uma delas já se viu, na 2ª etapa, que não tinha o prêmio -- e sabendo que o carro está atrás de uma delas, o concorrente tem que se decidir se permanece com a porta que escolheu no início do jogo e abre-a ou se muda para a outra porta que ainda está fechada para então a abrir.
Qual é a estratégia mais lógica? Ficar com a porta escolhida inicialmente ou mudar de porta? Com qual das duas portas ainda fechadas o concorrente tem mais probabilidades de ganhar? Porquê?
Realmente não é assim tão indiferente mudar ou ficar na mesma porta. No início, quando se escolheu uma das portas, havia 1/3 de probabilidade de ganhar o carro. Não existe razão nenhuma para essa probabilidade mudar após o Monty Hall ter aberto uma das portas que não era premiada. As outras duas portas não escolhidas tinham em conjunto 2/3 de probabilidade de ocultarem o carro, e quando uma dessa portas é aberta (por não ter prêmio) a porta não escolhida que continua fechada passa a ter 2/3 de probabilidade de ser a porta do carro.
A confusão é feita seguindo o raciocínio que parece mais lógico: "mas a porta escolhida também continua fechada.. então cada uma das portas fechadas passa a ter 1/2 de chance de ter o carro".
O problema
Este pequeno problema é muito mais difícil do que parece, e tornou-se famoso nos EUA como o problema de Monty Hall, devido ao apresentador que possuía um quadro bem similar (ou o contrário seria mais apropriado) em seu programa popular 'Let's Make a Deal' ['Vamos fazer um trato'] nos anos 70, algo como os diversos programas de auditório de Sílvio Santos.
A resposta intuitiva, porém errada
A resposta intuitiva ao problema é a de que quando o apresentador revelou uma porta não-premiada, o concorrente teria à frente um novo dilema com apenas duas portas e um prêmio, portanto as chances de que o prêmio esteja em qualquer uma das duas portas seriam de 50%. O apresentador teria nos ajudado, já que nossas chances subiram de 1/3 para 1/2, mas realmente não faria diferença trocar ou não de porta uma vez que ambas teriam as mesmas chances de possuírem o prêmio. No entanto, esta resposta está errada, pois a porta que o apresentador abre depende da porta que o concorrente escolher inicialmente. O apresentador sabe desde o começo onde está o prêmio (ele nunca abrirá uma porta premiada). Ao abrir uma porta, ele não está criando um jogo todo novo, mas está dando informações valiosas sobre o jogo original. É por isso que a resposta é tão contra-intuitiva: parece-nos que o apresentador abriu uma porta aleatoriamente, mas isso está muito longe da verdade. Como se observa, se o concorrente tiver escolhido inicialmente uma porta não-premiada (isto é, com o prémio mau), ele não tem liberdade de escolha e só pode abrir uma porta.
A solução
A resposta correta e contra-intuitiva é que é vantajoso trocar. Na verdade é duas vezes mais provável ganhar o prêmio se se trocar de porta do que se não o fizer.
Existem três portas - A, B e C. Quando o concorrente escolheu uma delas, digamos a A, a chance de que ela seja a premiada é de 1/3. Como conseqüência, a probabilidade de que tenha errado, ou em outras palavras, de que o prêmio esteja nas outras duas portas B ou C é de 2/3. Pode-se comprovar isso somando a probabilidade de cada uma das outras portas ou simplesmente sabendo que a probabilidade de que haja um prêmio é sempre 1. O importante é ter em mente que a chance de o prêmio estar nas outras portas que você não escolheu é de 2/3.
Entendendo isso, basta ver que o apresentador abrirá sem erro uma dessas outras duas portas que contém um prémio mau, digamos que seja a B. Ao fazer isso, ele está lhe dando uma informação valiosa: se o prêmio estava nas outras portas que não escolheu (B ou C), então agora ele só pode estar na porta que você não escolheu e não foi aberta, ou seja, a porta C. Ou seja, se o concorrente errou ao escolher uma porta - e as chances disto são de 2/3 - então ao abrir uma das outras portas não-premiadas o apresentador está literalmente lhe dizendo onde está o prêmio. Toda vez que o concorrente tiver escolhido inicialmente uma porta errada, ao trocar de porta irá com certeza ganhar. Como as chances de que tenha errado em sua escolha inicial são de 2/3, se trocar suas chances de ganhar serão de 2/3 - e por conseguinte a chance de que ganhe se não trocar de porta é de apenas 1/3. É assim mais vantajoso trocar de porta.
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